Meten bij constante druk

Introductie¶

Volgens de ideale gaswet wordt het volume $V$ van een (ideaal) gas gegeven door:

V = n R T / P

(1)

waarin

$n$ het aantal mol gas,
$R$ de ideale gasconstante,
$T$ de absolute temperatuur,
$P$ de druk.

In dit practicum veranderen we de temperatuur en meten we de verandering van het volume van het gas. De proef is met name kwalitatief van aard en laat zien hoe lastig het is een extensieve grootheid als volume te meten.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Om het volume van een hoeveelheid gas bij constante druk te meten is niet zo eenvoudig. Je kunt het gas vrij eenvoudig in een ballon stoppen en dan schatten hoe de diameter van de ballon verandert als functie van de temperatuur, maar dat geeft een relatief grote fout (waarom?). We maken daarom gebruik van de wet van Archimedes.

Materialen¶

eenvoudige feestballon
bekerglas
tweede bekerglas om mee bij te vullen
thermometer
verhittingsplaat
deksel met vulcilinder met maatstrepen (met iets kleinere diameter dan interne diameter maatbeker)
(per 5 groepjes) een $10 \mathrm{ml}$ maatcilinder

Procedure¶

Blaas de ballon op, maar niet verder dan $5 \mathrm{cm}$ in diameter. Deze moet makkelijk in de maatbeker passen.
Knoop de ballon goed dicht zodat er geen lucht kan ontsnappen.
Dompel de ballon onder in de maatbeker met water met behulp van het deksel.
Pas het waterniveau aan zodat de meniscus (de bovenkant van het water) bij een van de onderste maatstrepen van de vulcilinder van het deksel zit.
Let op dat er luchtbellen kunnen plakken aan de ballon wat leidt tot een systematische fout. Verifieer dat je zo min mogelijk systematische fouten maakt en meet op welke maatstreep de meniscus zich bevindt.
Verhoog stapsgewijst de temperatuur van het water (en dus de ballon). Let op dat je de temperatuur maximaal een graad of 20 kan verhogen, want als je voorbij de vulcilinder komt met de meniscus, dan kan je de volumeverandering niet meer nauwkeurig bepalen.
Laat het geheel na elke temperatuurtoename een minuut ‘rusten’ om zo de tijd te geven om in thermisch evenwicht te komen.
Meet na elke temperatuurtoename de temperatuur en de positie van de meniscus.

Het verschiloppervlak tussen de binnendiameter van de maatbeker en de buitendiameter van de vulcilinder is $10.0 \mathrm{cm}^{2}$ . Je kunt die handmatig kalibreren met behulp van de kleine maatcilinder die in het lokaal aanwezig is. De maatstreepjes die op de vulcilinder zijn gekerfd zitten op een onderlinge afstand van $1.0 \mathrm{mm}$ .

Als je kritisch nadenkt over deze grafiek en de extrapolatie, dan kun je bezwaar maken tegen de precisie van deze proef. Het water in de maatbeker zet ook uit onder de verhoging van de temperatuur en geeft een systematische fout. Daar kun je een correctie voor uitvoeren. Voer die correctie uit als je nog genoeg tijd hebt:

Resultaten¶


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

temps = [22.6, 25.3, 28.2, 31.2, 34.8, 38.1, 41.4, 44.4] # °C
hoogtes = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8] # cm


diam_beker = 7.66 # cm
diam_deksel = 6.77 # cm
opp_water = 1/4 * np.pi * (diam_beker**2 - diam_deksel**2) #cm2

volumes = (np.asarray(hoogtes) - hoogtes[0]) * opp_water
temps_abs = np.asarray(temps) + 273
coef = np.polyfit(temps_abs, volumes, 1)
func = np.poly1d(coef)

plt.plot(temps_abs, volumes, 'ob')
plt.plot(temps_abs, func(temps_abs), '--r')
plt.xlabel('Temperature [K]')
plt.ylabel('Volume [ccm]')
plt.show()

temps2 = [32.1, 38.8, 42.6, 45.8, 49.1, 52.5] # °C
hoogtes2 = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6] # cm


diam_beker2 = 7.66 # cm
diam_deksel2 = 6.77 # cm
opp_water2 = 1/4 * np.pi * (diam_beker2**2 - diam_deksel2**2) #cm2

volumes2 = (np.asarray(hoogtes2) - hoogtes2[0]) * opp_water2
temps_abs2 = np.asarray(temps2) + 273
coef2 = np.polyfit(temps_abs2, volumes2, 1)
func2 = np.poly1d(coef2)

plt.plot(temps_abs2, volumes2, 'ob')
plt.plot(temps_abs2, func(temps_abs2), '--r')
plt.xlabel('Temperature [K]')
plt.ylabel('Volume [ccm]')
plt.show()

coef = np.polyfit(temps_abs, volumes, 1)
func = np.poly1d(coef)

T0 = 0  # Kelvin
V0 = np.abs(func(T0))

print(f"Geëxtrapoleerd volume bij 0 K: {V0:.2f} cm³")

Geëxtrapoleerd volume bij 0 K: 93.74 cm³

print(f"correcte volume bij 0 K: {V0-5:.2f} cm³")

correcte volume bij 0 K: 88.74 cm³

Discussie¶

Bij een constante druk is er een lineaire relatie tussen volume en de temperatuur, dit volgt uit de ideale gaswet. De metingen bevestigen dit beeld, dit is het beste te zien door de rechte lijnen die ontstaan uit de metingen in de data-analyse.

De nauwkeurigheid van de meting wordt beperkt door meerdere systematische fouten. De belangrijkste is de uitzetting van het water, want dit zorgt dat niet alleen het verhoogde volume in de ballon wordt gemeten, maar ook dat het volume van het water wordt meegenomen. De correctiemeting zonder ballon toont aan dat dit effect niet verwaarloosbaar is en leidt tot een lagere waarde voor het volume bij 0 K.

De extrapolatie naar 0 K resulteert in een volume die niet 0 is, dit volgt niet uit de ideale gaswet. Dit benadrukt dat een extrapolatie uit een relatief simpele proef geen goede benadering is voor de werkelijkheid in extreme omstandigheden. De proef is dus alleen geschikt om een trend waar te nemen, maar niet om hele precieze metingen te doen.

Conclusie¶

In dit onderzoek over meten bij een constante druk is te zien dat het volume van een gas toeneemt met de temperatuur en volgt hierdoor de voorspelling van de ideale gaswet bij constante druk.

Dit practicum toont ook aan dat het erg lastig is om een grootheid als volume nauwkeurig te meten. Systematische fouten als de uitzetting van het water en de spanning van de ballon hebbe invloed op de metingen. Na een correctiemeting kan een deel van deze fouten worden verholpen, maar het zal niet zorgen voor een perfecte benadering.