Een van de bekendste voorbeelden van botsende deeltjes in de natuur is Brownian motion. Fijn gemalen pollen in water lijken te dansen in willekeurige richting. Dit komt doordat de pollen worden geraakt door watermoleculen die in alle richtingen bewegen. Omdat de pollen veel zwaarder zijn dan watermoleculen, dus de beweging van de pollen is veel langzamer en minder “intens” dan die van de watermoleculen. Dit proces van willekeurige beweging door botsingen met kleinere deeltjes wordt Brownian motion genoemd en kunnen we simuleren op basis van ons (premature) botsingsmodel. Daarbij kunnen we ook gebruik maken van de zojuist geleerde manier van tracking van deeltjes, waarbij we een zowel het zware bolletjes als een enkel deeltje kunnen volgen.
Let op! We bestuderen hier nog geen thermische effecten, deze opdrachten zijn met name bedoeld om beter te begrijpen hoe het botsingsmodel in elkaar zit.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# Maken van de ParticleClass
class ParticleClass:
# Het maken van het deeltje
def __init__(self, m, v, r, R, c):
self.m = m
self.v = np.array(v, dtype=float)
self.r = np.array(r, dtype=float)
self.R = np.array(R, dtype=float)
self.c = c
# Het updaten van de positie, eventueel met zwaartekracht
def update_position(self):
self.r += self.v * dt #+ 1/2 * a * dt**2
# Harde wand
def boxcollision(self):
if abs(self.r[0]) + self.R > Box_length:
self.v[0] = -self.v[0] # Omdraaien van de snelheid
self.r[0] = np.sign(self.r[0]) * (Box_length - self.R) # Zet terug net binnen box
if abs(self.r[1]) + self.R > Box_length:
self.v[1] = -self.v[1]
self.r[1] = np.sign(self.r[1]) * (Box_length - self.R)
@property
def momentum(self):
return self.m * self.v
@property
def kin_energy(self):
return 1/2 * self.m * np.dot(self.v, self.v)# Aanmaken van de randvoorwaarden en initiele condities
Box_size_0 = 10
Box_length_0 = Box_size_0/2
Box_length = Box_length_0 # De grootte van de box kan wijzigen!
# Particles
dt = 0.1
particles = []
N = 40
v_0 = 1
dt = 0.04
# Aanmaken van deeltjes
for i in range(N-1):
vx = np.random.uniform(-v_0,v_0)
vy = np.random.choice([-1, 1])*np.sqrt(v_0**2-vx**2)
pos = Box_length_0*np.random.uniform(-1,1,2)
particles.append(ParticleClass(m=1.0, v=[vx, vy], r = pos, R=.5,c='blue'))
# Toevoegen van een zwaar deeltje in he centrum
particles.append(ParticleClass(m=20.0, v=[0, 0], r = [0, 0], R=.5,c='red'))
Er is een doos vol met deeltjes op willekeurige positie aangemaakt. We willen kijken waar de deeltjes zijn terechtgekomen. Hieronder staat dit weergegeven.
# Inspecteren van beginsituatie
plt.figure()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.xlim(-Box_length_0,Box_length_0)
plt.ylim(-Box_length_0,Box_length_0)
for particle, particle_object in enumerate(particles):
plt.plot(particle_object.r[0],particle_object.r[1],color=particle_object.c,marker='.')
plt.arrow(particle_object.r[0],particle_object.r[1],
particle_object.v[0],particle_object.v[1],
head_width=0.05, head_length=0.1, color='red')
plt.show()
We gaan nu de functies van de simulatie weer aanroepen:
# Het bepalen of er een botsing plaats vindt
def collide_detection(self, other):
dx = self.r[0] - other.r[0]
dy = self.r[1] - other.r[1]
rr = self.R + other.R
return dx**2+dy**2 < rr**2
def particle_collision(p1: ParticleClass, p2: ParticleClass):
""" past snelheden aan uitgaande van overlap """
m1, m2 = p1.m, p2.m
delta_r = p1.r - p2.r
delta_v = p1.v - p2.v
dot_product = np.dot(delta_r, delta_v)
# Als deeltjes van elkaar weg bewegen dan geen botsing
if dot_product >= 0: # '='-teken voorkomt ook problemen als delta_r == \vec{0}
return
distance_squared = np.dot(delta_r, delta_r)
# Botsing oplossen volgens elastische botsing in 2D
p1.v -= 2 * m2 / (m1 + m2) * dot_product / distance_squared * delta_r
p2.v += 2 * m1 / (m1 + m2) * dot_product / distance_squared * delta_r
def handle_collisions(particles):
#your code/answer
""" alle onderlinge botsingen afhandelen voor deeltjes in lijst """
num_particles = len(particles)
for i in range(num_particles):
for j in range(i+1, num_particles):
if collide_detection(particles[i], particles[j]):
particle_collision(particles[i], particles[j])
#your code/answer
In onderstaande code geven we de code voor de simulatie en volgen we de positie van het zware deeltje.
# tracken van het zware deeltje
track_x = []
track_y = []
#tracken van een licht deeltje
light_particle_index = 0 # Index van het lichte deeltje om te volgen
track_x_light = []
track_y_light = []
for i in range(400):
for p in particles:
p.update_position() # Update positie
p.boxcollision() # Wandbotsing werkt per deeltje
handle_collisions(particles)
track_x_light.append(particles[light_particle_index].r[0])
track_y_light.append(particles[light_particle_index].r[1])
track_x.append(particles[N-1].r[0])
track_y.append(particles[N-1].r[1])
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(track_x_light,track_y_light,'b', label='Licht deeltje')
plt.plot(track_x,track_y,'r', label='Zwaar deeltje')
plt.xlim(-Box_length_0,Box_length_0)
plt.ylim(-Box_length_0,Box_length_0)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Beweging van het zware en lichte deeltje volgens de simulatie')
plt.legend()
plt.show()
We zouden gevoel willen krijgen voor het aantal botsingen dat per tijdseenheid plaatsvindt. Elke keer dat er een botsing plaatsvindt, zou de counter met 1 omhoog moeten gaan. Idealiter wordt het aantal botsingen opgeslagen in een array zodat je het aantal botsingen als functie van de tijd kunt weergeven.
def handle_collisions(particles):
""" Handelt alle botsingen af en telt alleen echte botsingen (waarbij snelheden zullen veranderen) """
num_particles = len(particles)
collision_count = 0
for i in range(num_particles):
for j in range(i+1, num_particles):
if collide_detection(particles[i], particles[j]):
#snelheden voor de botsing opslaan
v1_before = particles[i].v.copy()
v2_before = particles[j].v.copy()
#botsing afhandelen
particle_collision(particles[i], particles[j])
#alleen tellen als de snelheden daadwerkelijk zijn veranderd
if not (np.array_equal(v1_before, particles[i].v) and np.array_equal(v2_before, particles[j].v)):
collision_count += 1
return collision_count
total_collisions = 0
n_steps = 400
for i in range(n_steps):
for p in particles:
p.update_position() # Update positie
p.boxcollision() # Wandbotsing werkt per deeltje
total_collisions += handle_collisions(particles)
print(f"Totaal aantal echte botsingen is: {total_collisions}")Totaal aantal echte botsingen is: 548
In zulke fysica modellen is de afgelegde weg (afstand tussen begin en eindpunt) van belang. Deze afgelegde weg zegt iets over de snelheid van difussie. Idealiter bekijken we een histogram. Maar voor een histogram hebben we veel deeltjes nodig.
# Schalen van de box en aantal deeltjes
N = 361 #360 lichte deeltjes + 1 zwaar deeltje
N_oud = 40 #referentie naar vorige simulatie
Box_size_0 = 10
Box_length_0 = Box_size_0/2
Box_length = Box_length_0 * np.sqrt(N/N_oud)
dt = 0.04
v_0 = 1
heavy_mass = 20.0
heavy_idx = N - 1
particles = []
#deeltjes aanmaken
for i in range(N-1):
vx = np.random.uniform(-v_0,v_0)
vy = np.random.choice([-1, 1])*np.sqrt(v_0**2-vx**2)
pos = Box_length * np.random.uniform(-1,1,2)
particles.append(ParticleClass(m=1.0, v=[vx, vy], r = pos, R=.5,c='blue'))
#zwaar deeltje in het centrum toevoegen
particles.append(ParticleClass(m=heavy_mass, v=[0, 0], r = [0, 0], R=.5,c='red'))
#afgelegde weg per deeltje bijhouden
n_steps = 400
path_lengths = np.zeros(N)
#oude posities
prev_r = np.array([p.r.copy() for p in particles])
for i in range(n_steps):
for p in particles:
p.update_position() # Update positie
p.boxcollision() # Wandbotsing werkt per deeltje
current_r = np.array([p.r.copy() for p in particles])
step_distances = np.linalg.norm(current_r - prev_r, axis=1)
path_lengths += step_distances
prev_r = current_r
#onderlinge botsingen afhandelen
handle_collisions(particles)
#histogram
heavy_path = path_lengths[heavy_idx]
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.hist(path_lengths, bins=30, color='blue', alpha=0.7)
plt.axvline(heavy_path, color='red', linestyle='--', linewidth=2, label=f'Zwaar deeltje: {heavy_path:.2f}')
plt.xlabel('Afgelegde weg')
plt.ylabel('Aantal deeltjes')
plt.title('Histogram van afgelegde wegen')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
En nu we toch bezig zijn met twee verschillende deeltjes....
We kunnen twee “groepen” van deeltjes aanmaken, elk met een andere massa. Als we dan de zwaartekracht aan zetten, dan zouden we verwachten dat de lichtere deeltjes boven komen “drijven”.
#Deze code duurt een aantal minuten (het duurde bij mij 5.5 minuten), dit komt door de vele botsingen die moeten worden berekend.
#parameters
Box_size_0 = 10
Lx = Box_size_0 / 2
Ly = 2 * Lx
dt = 0.04
v_0 = 1.0
N = 722
# Twee groepen: licht en zwaar (je kunt de verhouding aanpassen)
frac_light = 0.5
N_light = int((N) * frac_light)
N_heavy = N - N_light
m_light = 1.0
m_heavy = 5.0
g = 25.0 #artificieel grote zwaartekracht
R = 0.2 #straal deeltjes
#wandbotsingen
def boxcollision_rect(p, Lx, Ly):
# links/rechts
if p.r[0] - p.R < -Lx:
p.r[0] = -Lx + p.R
p.v[0] *= -1
elif p.r[0] + p.R > Lx:
p.r[0] = Lx - p.R
p.v[0] *= -1
# onder/boven
if p.r[1] - p.R < -Ly:
p.r[1] = -Ly + p.R
p.v[1] *= -1
elif p.r[1] + p.R > Ly:
p.r[1] = Ly - p.R
p.v[1] *= -1
#twee groepen aanmaken
particles = []
labels = [] # 0 = light, 1 = heavy (voor analyse)
def random_velocity(v0):
vx = np.random.uniform(-v0, v0)
vy = np.random.choice([-1, 1]) * np.sqrt(max(0.0, v0**2 - vx**2))
return np.array([vx, vy], dtype=float)
def random_position(Lx, Ly):
return np.array([np.random.uniform(-Lx, Lx),
np.random.uniform(-Ly, Ly)], dtype=float)
# lichte deeltjes
for _ in range(N_light):
particles.append(ParticleClass(m=m_light,
v=random_velocity(v_0),
r=random_position(Lx, Ly),
R=R, c='blue'))
labels.append(0)
# zware deeltjes
for _ in range(N_heavy):
particles.append(ParticleClass(m=m_heavy,
v=random_velocity(v_0),
r=random_position(Lx, Ly),
R=R, c='red'))
labels.append(1)
labels = np.array(labels)
#simulatie met zwaartekracht
n_steps = 1200
mean_y_light = []
mean_y_heavy = []
for _ in range(n_steps):
# (a) zwaartekracht: v_y <- v_y - g*dt
for p in particles:
p.v[1] -= g * dt
# (b) positie-update + rechthoekige wandbotsingen
for p in particles:
p.update_position()
boxcollision_rect(p, Lx, Ly)
# (c) onderlinge botsingen
handle_collisions(particles)
# (d) metriek: gemiddelde hoogte per groep
y = np.array([p.r[1] for p in particles])
mean_y_light.append(np.mean(y[labels == 0]))
mean_y_heavy.append(np.mean(y[labels == 1]))
#resultaten plotten
plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(mean_y_light, label='Gem. hoogte licht (m=1)')
plt.plot(mean_y_heavy, label=f'Gem. hoogte zwaar (m={m_heavy})')
plt.axhline(0, linewidth=1)
plt.xlabel('Tijdstap')
plt.ylabel('Gemiddelde y-positie')
plt.title('Segregatie onder zwaartekracht: licht vs zwaar')
plt.grid(True, linewidth=0.3, alpha=0.5)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
#histogram van eindposities
y_end = np.array([p.r[1] for p in particles])
plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.hist(y_end[labels == 0], bins=30, alpha=0.7, edgecolor='black', label='licht')
plt.hist(y_end[labels == 1], bins=30, alpha=0.7, edgecolor='black', label='zwaar')
plt.xlabel('y')
plt.ylabel('Aantal deeltjes')
plt.title('Eindverdeling van y per massagroep')
plt.grid(True, linewidth=0.3, alpha=0.5)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
